مثير للإعجاب

ما هو سانت بطرسبرغ مفارقة؟

ما هو سانت بطرسبرغ مفارقة؟

أنت في شوارع سان بطرسبرج ، روسيا ، ويقترح رجل عجوز اللعبة التالية. إنه يقلب قطعة نقود (وسيقرض أحدك إذا كنت لا تثق في أن له عملة عادلة). إذا هبطت ذيولها فستخسر وستنتهي اللعبة. إذا هبطت العملة لأعلى ، فستربح روبل واحد وتستمر اللعبة. قذف العملة مرة أخرى. إذا كانت ذيول ، فإن اللعبة تنتهي. إذا كان الأمر كذلك ، فستربح روبلين إضافيين. تستمر اللعبة بهذه الطريقة. لكل رأس متتالي نقوم بمضاعفة أرباحنا من الجولة السابقة ، ولكن عند علامة الذيل الأول ، تتم اللعبة.

كم ستدفع مقابل لعب هذه اللعبة؟ عندما نفكر في القيمة المتوقعة لهذه اللعبة ، يجب عليك القفز في هذه الفرصة ، بغض النظر عن التكلفة التي ستلعبها. ومع ذلك ، من الوصف أعلاه ، ربما لن تكون على استعداد لدفع الكثير. بعد كل شيء ، هناك احتمال 50 ٪ للفوز بأي شيء. هذا هو ما يعرف باسم سان بطرسبرغ مفارقة ، سميت بسبب نشر دانييل برنولي في 1738 تعليقات الأكاديمية الإمبراطورية للعلوم في سانت بطرسبرغ.

بعض الاحتمالات

لنبدأ بحساب الاحتمالات المرتبطة بهذه اللعبة. احتمال أن تتراجع عملة عادلة هو 1/2. كل عملة إرم هي حدث مستقل ولذا فإننا نقوم بضرب الاحتمالات ربما باستخدام مخطط شجرة.

  • احتمال وجود رئيسين على التوالي هو (1/2)) × (1/2) = 1/4.
  • احتمال وجود ثلاثة رؤوس على التوالي هو (1/2) × (1/2) × (1/2) = 1/8.
  • للتعبير عن احتمال ن رؤساء في صف واحد ، حيث ن هو عدد صحيح إيجابي نستخدم الأسس لكتابة 1/2ن.

بعض الدفعات

الآن دعنا ننتقل ونرى ما إذا كان يمكننا تعميم المكاسب التي ستكون في كل جولة.

  • إذا كان لديك رأس في الجولة الأولى ، فستربح روبل واحد لتلك الجولة.
  • إذا كان هناك رأس في الجولة الثانية فستربح روبلين في تلك الجولة.
  • إذا كان هناك رأس في الجولة الثالثة ، فستربح أربعة روبل في تلك الجولة.
  • إذا كنت محظوظا بما فيه الكفاية لجعله على طول الطريق إلى نعشر الجولة ، ثم سوف يفوز 2ن 1 روبل في تلك الجولة.

القيمة المتوقعة للعبة

تخبرنا القيمة المتوقعة للعبة ما المكاسب التي ستحققها إذا لعبت اللعبة عدة مرات. لحساب القيمة المتوقعة ، نقوم بضرب قيمة المكاسب من كل جولة مع احتمال الوصول إلى هذه الجولة ، ثم نضيف كل هذه المنتجات معًا.

  • من الجولة الأولى ، لديك احتمال 1/2 وربح 1 روبل: 1/2 × 1 = 1/2
  • من الجولة الثانية ، لديك احتمال 1/4 وربح 2 روبل: 1/4 × 2 = 1/2
  • من الجولة الأولى ، لديك احتمال 1/8 وربح 4 روبل: 1/8 × 4 = 1/2
  • من الجولة الأولى ، لديك احتمال 1/16 وربح 8 روبل: 1/16 × 8 = 1/2
  • من الجولة الأولى ، لديك احتمال 1/2ن وربح 2ن 1 روبل: 1/2ن × 2ن 1 = 1/2

القيمة من كل جولة هي 1/2 ، وإضافة النتائج من الأولى ن جولات معا يعطينا القيمة المتوقعة ل ن/ 2 روبل. منذ ن يمكن أن يكون أي عدد صحيح موجب ، والقيمة المتوقعة لا حدود لها.

المفارقة

إذن ما الذي يجب أن تدفعه للعب؟ سيكون الروبل ، ألف روبل أو حتى مليار روبل ، على المدى الطويل ، أقل من القيمة المتوقعة. على الرغم من أن الحساب أعلاه يعد بثروات لا توصف ، إلا أننا جميعًا ما زلنا نحجم عن دفع الكثير للعب.

هناك طرق عديدة لحل المفارقة. واحدة من أبسط الطرق هي أن لا أحد يقدم لعبة مثل تلك المذكورة أعلاه. لا أحد يملك الموارد اللانهائية التي يتطلبها دفع شخص ما استمر في قلب الرؤوس.

هناك طريقة أخرى لحل هذه المفارقة تتضمن الإشارة إلى مدى احتمال الحصول على ما يقرب من 20 رأسًا على التوالي. احتمالات حدوث هذا أفضل من الفوز بمعظم اليانصيب في الولاية. يلعب الناس بشكل روتيني مثل هذه اليانصيب مقابل خمسة دولارات أو أقل. لذا يجب ألا يتجاوز سعر لعب سانت بطرسبرغ بضعة دولارات.

إذا قال الرجل في سان بطرسبرغ إنه سيكلفك أكثر من بضعة روبل في لعب مباراته ، يجب أن ترفض بأدب وتنزع. روبل لا يستحق الكثير على أي حال.


شاهد الفيديو: St Petersburg Paradox (يوليو 2021).