نصائح

وظائف الأداة المساعدة Quasiconcave

وظائف الأداة المساعدة Quasiconcave

"Quasiconcave" هو مفهوم رياضي له العديد من التطبيقات في الاقتصاد. لفهم أهمية تطبيقات المصطلح في الاقتصاد ، من المفيد أن نبدأ في دراسة موجزة لأصول ومعنى المصطلح في الرياضيات.

أصول المصطلح

تم تقديم مصطلح "quasiconcave" في الجزء الأول من القرن العشرين في أعمال John von Neumann و Werner Fenchel و Bruno de Finetti ، وجميعهم علماء رياضيات بارزون لهم اهتمامات في كل من الرياضيات النظرية والتطبيقية ، وأبحاثهم في مجالات مثل نظرية الاحتمالات وضعت نظرية اللعبة وطوبولوجيا في النهاية الأساس لحقل بحثي مستقل يعرف باسم "التحدب المعمم". في حين أن مصطلح "quasiconcave: له تطبيقات في العديد من المجالات ، بما في ذلك الاقتصاد ، فإنه ينشأ في مجال التحدب المعمم كمفهوم طوبولوجي.

تعريف الطوبولوجيا

يبدأ شرح البروفسور المختلط والمقروء لطوبولوجيا وين ستيت للرياضيات بفهم أن الطوبولوجيا هي شكل خاص من أشكال الهندسة. ما يميز الطوبولوجيا عن الدراسات الهندسية الأخرى هو أن الطوبولوجيا تتعامل مع الأشكال الهندسية على أنها مكافئة أساسًا ("طبولوجيا") إذا كنت تستطيع من خلال الانحناء أو التواء أو تشويهها تحويل أحدها إلى الأخرى.

هذا يبدو غريباً بعض الشيء ، لكن ضع في اعتبارك أنه إذا كنت تأخذ دائرة وتبدأ في الاسكواش من أربعة اتجاهات ، فبإمكانك إنشاء مربع بعناية. وهكذا ، مربع ودائرة مكافئ طبولوجيا. وبالمثل ، إذا قمت بثني جانب من المثلث حتى تقوم بإنشاء زاوية أخرى في مكان ما على طول هذا الجانب ، مع مزيد من الانحناء والدفع والسحب ، يمكنك تحويل المثلث إلى مربع. مرة أخرى ، المثلث والمربع متساويان طبولوجيا.

Quasiconcave كخاصية طوبولوجية

Quasiconcave هي خاصية طوبولوجية تتضمن تقعر. إذا قمت برسم دالة رياضية وكان الرسم البياني يشبه إلى حد ما وعاءًا سيئًا يصنعه مع وجود عدد قليل من المطبات فيه ولكن لا يزال لديه اكتئاب في المنتصف وطرفان مائلان للأعلى ، فهذه هي وظيفة كاشكونكاف.

اتضح أن وظيفة مقعرة ليست سوى حالة محددة من وظيفة كاسيكونكاف واحد دون المطبات. من منظور الشخص العادي (لدى عالم الرياضيات طريقة أكثر صرامة للتعبير عنه) ، تتضمن وظيفة كهف الكهف جميع وظائف المقعرة وأيضًا جميع الوظائف التي تكون مقعرة عمومًا والتي قد تحتوي على أقسام محدبة بالفعل. مرة أخرى ، تصور وعاءًا مصنوعًا بشكل سيء مع بعض المطبات والنتوءات فيه.

تطبيقات في الاقتصاد

إحدى طرق التمثيل الحسابي لتفضيلات العملاء (بالإضافة إلى العديد من السلوكيات الأخرى) هي وظيفة الأداة المساعدة. على سبيل المثال ، إذا كان المستهلكون يفضلون جيد A إلى جيد B ، فإن وظيفة الأداة المساعدة U تعبر عن هذا التفضيل على النحو التالي:

     U (A)> U (B)

إذا قمت بتوضيح هذه الوظيفة لمجموعة من المستهلكين والسلع في العالم الواقعي ، فقد تجد أن الرسم البياني يشبه إلى حد ما وعاء بدلاً من خط مستقيم ، فهناك تراجع في الوسط. يمثل هذا الترهل عمومًا كره المستهلكين للمخاطرة. مرة أخرى ، في العالم الواقعي ، هذا النفور غير متناسق: الرسم البياني لتفضيلات العملاء يشبه إلى حد ما وعاء غير مكتمل ، واحد به عدد من المطبات. بدلاً من كونها مقعرة ، فهي مقعرة بشكل عام ، لكنها ليست كذلك تمامًا عند كل نقطة في الرسم البياني ، والتي قد تحتوي على أقسام صغيرة من التحدب.

بمعنى آخر ، فإن الرسم البياني الخاص بنا لتفضيلات العملاء (مثل الكثير من الأمثلة في العالم الحقيقي) هو quasiconcave. يخبرون أي شخص يريد معرفة المزيد عن سلوك المستهلك - الاقتصاديين والشركات التي تبيع السلع الاستهلاكية ، على سبيل المثال - أين وكيف العملاء يستجيبون للتغيرات في كميات جيدة أو التكلفة.