الجديد

أمثلة على مجموعات لا حصر لها لا حصر لها

أمثلة على مجموعات لا حصر لها لا حصر لها

ليس كل مجموعات لانهائية هي نفسها. إحدى الطرق للتمييز بين هذه المجموعات هي السؤال عما إذا كانت المجموعة لا حصر لها أم لا. بهذه الطريقة ، نقول أن مجموعات لا حصر لها إما أن تحصى أو لا تحصى. سننظر في عدة أمثلة للمجموعات اللانهائية ونحدد أيًا منها غير قابل للعد.

بلا حدود لانهائي

نبدأ باستبعاد عدة أمثلة للمجموعات اللانهائية. تم العثور على العديد من المجموعات اللانهائية التي نفكر فيها على الفور بأنها لا حصر لها. هذا يعني أنه يمكن وضعها في مراسلات فردية مع الأعداد الطبيعية.

الأرقام الطبيعية والأعداد الصحيحة والأعداد المنطقية كلها لا حصر لها. أي اتحاد أو تقاطع مجموعات لا حصر له لا تعد ولا تحصى. المنتج الديكارتي من أي عدد من مجموعات قابلة للعد هو عد. أي مجموعة فرعية من مجموعة قابلة للعد هي أيضا قابلة للعد.

غير معدود

الطريقة الأكثر شيوعًا التي يتم تقديم مجموعات لا تحصى هي النظر في الفاصل الزمني (0 ، 1) من الأرقام الحقيقية. من هذه الحقيقة ، وظيفة واحد لواحد F( س ) = ب س + ا. هو نتيجة طبيعية واضحة لإظهار أن أي فاصل (ا, ب) من الأعداد الحقيقية لا حصر له.

مجموعة كاملة من الأرقام الحقيقية هي أيضا لا تحصى. طريقة واحدة لإظهار هذا هو استخدام دالة الظل واحد إلى واحد F ( س ) = تان س. مجال هذه الوظيفة هو الفاصل الزمني (-π / 2 ، π / 2) ، مجموعة لا تحصى ، والنطاق هو مجموعة جميع الأرقام الحقيقية.

مجموعات أخرى غير قابلة للعد

يمكن استخدام عمليات نظرية المجموعة الأساسية لإنتاج المزيد من الأمثلة على مجموعات لا حصر لها:

  • إذا ا هي مجموعة فرعية من ب و ا لا يحصى ، ثم هو كذلك ب. يوفر هذا دليلًا أكثر وضوحًا على أن مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها لا تحصى.
  • إذا ا لا يحصى و ب هو أي مجموعة ، ثم الاتحاد ا U ب هو أيضا لا يحصى.
  • إذا ا لا يحصى و ب هو أي مجموعة ، ثم المنتج الديكارتي ا س ب هو أيضا لا يحصى.
  • إذا ا هو لانهائي (حتى لا حصر له عدد لا حصر له) ثم السلطة مجموعة من ا لا يحصى.

هناك مثالان آخران ، مرتبطان ببعضهما البعض. ليست كل مجموعة فرعية من الأعداد الحقيقية غير محدودة بشكل لا يُحصى (في الواقع ، تشكل الأرقام المنطقية مجموعة فرعية قابلة للعد من الواقعيات الكثيفة أيضًا). مجموعات فرعية معينة لا حصر لها.

تتضمن إحدى هذه المجموعات الفرعية اللانهائية التي لا حصر لها أنواعًا معينة من التوسعات العشرية. إذا اخترنا عددين وقمنا بتشكيل كل امتداد عشري ممكن بهذين الرقمين فقط ، فإن المجموعة اللانهائية الناتجة لا يمكن حصرها.

مجموعة أخرى أكثر تعقيدًا في البناء ولا يمكن حسابها أيضًا. ابدأ بالفاصل الزمني المقفل 0،1. قم بإزالة الثلث الأوسط من هذه المجموعة ، مما يؤدي إلى 0 ، 1/3 U 2/3 ، 1. الآن قم بإزالة الثلث الأوسط من كل قطعة من المجموعة المتبقية. تمت إزالة (1/9 ، 2/9) و (7/9 ، 8/9). نواصل في هذا الموضة. مجموعة النقاط التي تبقى بعد إزالة كل هذه الفواصل الزمنية ليست فترة زمنية ، ومع ذلك ، فهي غير محدودة. هذه المجموعة تسمى مجموعة كانتور.

هناك عدد لا حصر له من مجموعات لا حصر لها ، ولكن الأمثلة المذكورة أعلاه هي بعض من أكثر المجموعات التي واجهتها.


شاهد الفيديو: أروع مرجع لقسم الخامسة في اللغة والرياضيات نماذج لا حصر لها (أغسطس 2021).