معلومات

حساب احتمالية اختيار عدد أولي عشوائيا

حساب احتمالية اختيار عدد أولي عشوائيا

نظرية الأعداد هي فرع من الرياضيات يهتم بمجموعة الأعداد الصحيحة. نحن نقيد أنفسنا إلى حد ما عن طريق القيام بذلك لأننا لا ندرس مباشرة أرقام أخرى ، مثل غير عقلاني. ومع ذلك ، يتم استخدام أنواع أخرى من الأرقام الحقيقية. بالإضافة إلى ذلك ، يحتوي موضوع الاحتمال على العديد من الروابط والتقاطعات مع نظرية الأعداد. أحد هذه الروابط له علاقة بتوزيع الأعداد الأولية. بشكل أكثر تحديدا قد نسأل ، ما هو احتمال أن عدد صحيح تم اختيارها عشوائيا من 1 إلى س هو عدد أولي؟

الافتراضات والتعاريف

كما هو الحال مع أي مشكلة في الرياضيات ، من المهم أن نفهم ليس فقط الافتراضات التي يتم وضعها ، ولكن أيضًا تعريفات جميع المصطلحات الأساسية في المشكلة. بالنسبة لهذه المشكلة ، فإننا نفكر في الأعداد الصحيحة الموجبة ، بمعنى الأعداد الصحيحة 1 ، 2 ، 3 ، ... حتى عدد معين س. نحن نختار عشوائيا أحد هذه الأرقام ، وهذا يعني أن كل شيء س من المرجح بنفس القدر أن يتم اختيارهم.

نحن نحاول تحديد احتمال اختيار عدد أولي. وبالتالي نحن بحاجة إلى فهم تعريف عدد أولي. الرقم الأولي هو عدد صحيح موجب له عاملان بالضبط. هذا يعني أن المقسومات الوحيدة للأرقام الأولية هي واحدة والرقم نفسه. إذن 2.3 و 5 من الأعداد الأولية ، لكن 4 و 8 و 12 ليست أولية. نلاحظ أنه لأنه يجب أن يكون هناك عاملان في العدد الأولي ، فإن الرقم 1 هو ليس رئيس الوزراء.

حل للأرقام منخفضة

الحل لهذه المشكلة بسيط للأرقام المنخفضة س. كل ما نحتاج إلى القيام به هو مجرد حساب أعداد الأعداد الأولية التي تقل عن أو تساوي س. نقسم عدد الأعداد الأولية أقل من أو يساوي س حسب الرقم س.

على سبيل المثال ، للعثور على احتمال اختيار الأعداد الأولية من 1 إلى 10 ، يتطلب منا تقسيم عدد الأعداد الأولية من 1 إلى 10 على 10. الأعداد 2 و 3 و 5 و 7 أولية ، وبالتالي فإن الاحتمال هو المحدد هو 4/10 = 40 ٪.

يمكن العثور على الاحتمال الذي يتم اختياره من 1 إلى 50 بطريقة مماثلة. الأعداد الأولية التي تقل عن 50 هي: 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، 23 ، 29 ، 31 ، 37 ، 41 ، 43 ، 47. هناك 15 أعداد أولية تقل عن أو تساوي 50. وبالتالي فإن احتمال اختيار رئيس بشكل عشوائي هو 15/50 = 30 ٪.

يمكن تنفيذ هذه العملية بمجرد عد الأعداد الأولية طالما أن لدينا قائمة بالأعداد الأولية. على سبيل المثال ، هناك 25 من الأعداد الأولية أقل من أو تساوي 100. (وبالتالي فإن احتمال أن يكون الرقم الذي تم اختياره عشوائيًا من 1 إلى 100 هو الأعداد الأولية هو 25/100 = 25٪.) ومع ذلك ، إذا لم يكن لدينا قائمة بالأعداد الأولية ، قد يكون من الصعب حساب مجموعة الأرقام الأولية التي تقل عن أو تساوي عدد معين س.

نظرية الأعداد الأولية

إذا لم يكن لديك عدد من الأعداد الأولية التي تقل عن أو تساوي س، ثم هناك طريقة بديلة لحل هذه المشكلة. ينطوي الحل على نتيجة رياضية تُعرف بنظرية العدد الأولي. هذا بيان حول التوزيع الكلي للأعداد الأولية ويمكن استخدامه لتقريب الاحتمال الذي نحاول تحديده.

تنص نظرية العدد الأولي على أن هناك تقريبًا س / ln (س) الأعداد الأولية التي تقل عن أو تساوي س. هنا ليرة لبنانية (س) يدل على اللوغاريتم الطبيعي لل س، أو بعبارة أخرى اللوغاريتم مع قاعدة الرقم البريد. كقيمة س يزيد من التقريب يتحسن ، بمعنى أننا نرى انخفاضا في الخطأ النسبي بين عدد الأعداد الأولية أقل من س والتعبير س / ln (س).

تطبيق نظرية الأعداد الأولية

يمكننا استخدام نتيجة نظرية الأعداد الأولية لحل المشكلة التي نحاول معالجتها. نحن نعرف من خلال نظرية الأعداد الأولية أن هناك تقريبًا س / ln (س) الأعداد الأولية التي تقل عن أو تساوي س. علاوة على ذلك ، هناك ما مجموعه س أعداد صحيحة موجبة أقل من أو تساوي س. وبالتالي فإن الاحتمال بأن الرقم المحدد عشوائياً في هذا النطاق هو أولي هو (س / ln (س) ) /س = 1 / ln (س).

مثال

يمكننا الآن استخدام هذه النتيجة لتقريب احتمال اختيار عدد أولي عشوائيًا من بين أول مليار صحيح. نحن نحسب اللوغاريتم الطبيعي للمليار ونرى أن اللين (1،000،000،000) تقريبًا 20.7 و 1 / ln (1،000،000،000) تقريبًا 0.0483. وبالتالي لدينا حوالي 4.83 ٪ احتمال اختيار عدد أولي عشوائيا من أصل مليار صحيح.


شاهد الفيديو: Random Number Table. ما هو جدول الأرقام العشوائية (يونيو 2021).